Streuungsmasse werden in der Statistik im Rahmen der Datenanalyse bestimmt. Genauer betrachtet gehören Streuungsmasse zur deskriptiven Statistik.
Der folgende Beitrag stellt dir die wichtigsten Streuungsmasse und deren Eigenschaften vor. Du lernst, wie du die Varianz, die Standardabweichung und die Spannweite bestimmst. Zudem erfährst du was der Unterschied zwischen Lageparametern und Streuungsmassen ist.
Inhaltsverzeichnis
Streuungsmasse «einfach erklärt»
Streuungsmasse geben die Streuung von Daten, also die Verteilung der Messwerte, an. Die wichtigsten Streuungsmasse sind Varianz, Spannweite und Standardabweichung. Diese werden über Formeln berechnet.
Definition: Streuungsmasse
Der Ausdruck Streuungsmasse umfasst Masszahlen der deskriptiven Statistik, welche die Streubreite oder die Häufigkeitsverteilung um Lageparameter beschreiben. Alternative Ausdrücke sind Dispersionsmasse und Streuungsparameter. Zu den bekanntesten Streuungsmassen gehören die Varianz, die Standardabweichung und die Spannweite.
Um das arithmetische Mittel liegende Streuungsmasse sind die Varianz, die Standardabweichung und die Summe der Abweichungsquadrate. Der Interquartilsabstand, der Median der absoluten Abweichungen und der Quantilsabstand liegen um den Median.
Die Funktion der Streuungsmasse ist die Analyse der Variabilität der Daten. Dispersionsmasse geben an, wie stark die Messwerte von Lageparametern oder voneinander abweichen. Sie zeigen die Streuung der Daten auf.
Streuungsmasse am Beispiel erklärt
Um die Streuungsmasse besser zu verstehen, werden diese anhand eines Beispiels näher erläutert.
Beispiel für Streuungsmasse:
In einem Basketballteam sind fünf Spieler auf dem Platz.
Die folgende Datenreihe beschreibt die Körpergrösse der Spieler:
- Spieler: 1,90 Meter
- Spieler: 1,80 Meter
- Spieler: 2,00 Meter
- Spieler: 1,75 Meter
- Spieler: 1,70 Meter
1,90 m; 1,80 m; 2,00 m; 1,75 m; 1,70 m
Aus den dargestellten Daten sollen die bekanntesten Streuungsmasse bestimmt werden.
Die bekanntesten Streuungsmasse:
1. Die Varianz als Streuungsmass
Die Varianz ist definiert als das Quadrat der mittleren Abweichung vom Mittelwert einer Datenreihe. Die Wurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung.
Die Berechnung der Varianz erfolgt über die Formel:
V = [(x1 – xm)² + (x2 – xm)² … (xn – xm)²] / n
mit:
- V als Varianz
- x1, x2, … xn als die n Messwerte
- n als Anzahl der Messwerte
- xm als Mittelwert der Datenreihe1
Anleitung für die Berechnung der Varianz:
- Du bestimmst den Mittelwert aus den Daten
- Subtrahierst den Mittelwert von den einzelnen Messwerten
- Die erhaltenen Differenzen werden jeweils quadriert.
- Du addierst alle Quadrate auf und subtrahierst das Ergebnis durch die Anzahl an Messwerten
Beispiel für die Berechnung der Varianz:
Messwerte:1,90 m; 2,80 m; 2,00 m; 1,75 m; 1,70 m
Schritt 1: Mittelwert berechnen
xm = [x1 + x2 + x3 + x4 + x5] / 5
xm = [1,9 m + 1,8 m + 2 m + 1,75 m + 1,7 m] / 5 = 1,83
Schritt 2: Quadratische Abweichung der Messwerte vom Mittelwert bestimmen
(1,9 – 1,83)² = 0,0049
(1,8 – 1,83)² = 0,0009
(2 – 1,83)² = 0,0289
(1,75 – 1,83)² = 0,0064
(1,7 – 1,83)² = 0,0169
Schritt 3: Die Quadrate aufsummieren und durch die Anzahl an Messwerten teilen
[0,0049 + 0,0009 + 0,0289 + 0,0064 + 0,0169] / 5 = 0,0116
Die Varianz beträgt 0,0116.
Dieser Wert ist wie folgt zu interpretieren:
Die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert beträgt 0,0116.
Berechnung der Varianz mit Excel und SPSS
Je grösser die Messreihen sind, desto aufwendiger ist die manuelle Berechnung der Varianz.
In Excel gibt es zwei Möglichkeiten, die Varianz zu bestimmen.
- In die Formelzeile nahezu jede gewünschte Formel eintragen, um Werte zu berechnen
- Excel bietet eine vorgegebene Funktion, die du nutzen kannst:
=VARIANZ(» «)
In die Klammer trägst du die Bezeichnung der ersten und letzten Zeile ein, in der die Messwerte stehen, also beispielsweise A3:E32
SPSS stellt dir ebenfalls eine Funktion zur Berechnung der Streuungsmasse wie der Varianz zur Verfügung. Folge hierzu dem Pfad:
Analysieren > Deskriptive Statistik > Häufigkeiten
In der sich öffnenden Box wählst du die gewünschten Statistiken, die zu berechnen lassen möchtest, aus. Klicke hierzu «Varianz» an und starte die Berechnung durch Bestätigung.3
2. Standardabweichung als Streuungsmass
Die Standardabweichung ist definiert als die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert. Es handelt sich um ein Mass, welches die Streuung abbildet.
Die Berechnung erfolgt entweder direkt mit der Formel:
1: s = sqr[ [(x1 – xm)² + (x2 – xm)² … (xn – xm)²] / n]
mit
- s als Standardabweichung
- x1, x2, … xn als die n Messwerte
- n als Anzahl der Messwerte
- xm als Mittelwert der Datenreihe
oder durch Ziehen der Wurzel aus der Varianz:
2: s = sqr (Varianz)4
Die Formel 1 basiert auf der Formel zur Berechnung der Varianz. Der einzige Unterschied ist das Ziehen der zweiten Wurzel am Ende der Rechnung.
Beispiel für die Standardabweichung:
Dementsprechend ergibt sich für die Standardabweichung der Körpergrössen der Basketballspieler:
sqr [[0,0049 + 0,0009 + 0,0289 + 0,0064 + 0,0169] / 5] = sqr (0,0116) = 0,1078
Die Standardabweichung gibt an, wie die Messwerte um den Mittelwert verteilt sind.
Die Berechnung der Standardabweichung mit Excel und SPSS
Einfacher als auf die manuelle Weise lässt sich die Standardabweichung in SPSS bestimmen.
In Excel berechnest du die Standardabweichung durch Eintragen von:
= STABW (» «) in die Formelzeile
In die Klammer gibst du die zu berücksichtigenden Zellen an, beispielsweise E2:E5.2
Folge in der Menüleiste dem Pfad:
Analysieren > Deskriptive Statistik > Häufigkeiten und wähle den Punkt «Standardabweichung» aus.
3. Die Spannweite als Streuungsmass
Die Spannweite ist als die Differenz zwischen dem grössten auftretenden Wert und dem kleinsten auftretenden Wert definiert. Ein anderer Ausdruck für die Spannweite ist Range. Wende zur Berechnung folgende Formel an:
R = xmax – xmin
mit
- R gleich Range
- xmax gleich dem maximalen Messwert
- xmin gleich dem minimalen Messwert
Beispiel für die Berechnung der Spannweite:
Im Beispiel der Körpergrössen der Basketballspieler liegt eine Spannweite von 30 Zentimetern vor:
R = 2,00 m – 1,70 m = 0,30 m
Die Spannweite ist nicht robust gegen Ausreisser. Es werden nur zwei Werte berücksichtigt. Treten Ausreisser auf, dann bestimmen die extremsten Werte die Spannweite.
Was ist der Unterschied zwischen den Streuungsmassen und Lageparametern?
Streuungsmasse liefern Informationen über die Streuung – also die Verteilung der Messwerte. Lageparameter geben die zentrale Lage der Daten an. Zu ihnen gehören der Mittelwert und der Median. Viele Streuungsmasse liegen um Lageparameter herum, beispielsweise die Varianz und die Standardabweichung. Die Spannweite liegt um keinen Lageparameter herum. Sie gibt die Breite der Streuung an.
Häufig gestellte Fragen
Streuungsmasse geben die Streuung von Daten an. Varianz, Spannweite und Standardabweichung sind Streuungsmasse.
Streuungsmasse haben Formeln, über die sie berechnet werden. Am einfachsten ist die Nutzung von SPSS zur Berechnung der Streuungsmasse.
Die Varianz und die Standardabweichung als Streuungsmasse liegen um einen Lageparameter herum. Die Spannweite liegt um keinen Lageparameter.
Ja, Streuungsmasse werden im Rahmen der deskriptiven Statistik bestimmt.
Standardabweichung, Varianz und Spannweite sind die wichtigsten Streuungsmasse bei der Datenanalyse.
Quellen
1 Welt der BWL: Varianz, in: Welt der BWL, o.D., [online] https://welt-der-bwl.de/Varianz (zuletzt abgerufen am 09.01.2023)
2 Mossmann, Richard: Excel: Varianz und Standardabweichung berechnen, in: Chip, 03.03.2014, [online] https://praxistipps.chip.de/excel-varianz-und-standardabweichung-berechnen_28032 (zuletzt abgerufen am 09.01.2023)
3 IBM: Häufigkeiten: Statistik, in: IBM, 13.09.2022, [online] https://www.ibm.com/docs/de/spss-statistics/saas?topic=frequencies-statistics (zuletzt abgerufen am 09.01.2023)
4 Welt der BWL: Standardabweichung, in: Welt der BWL, o.D., [online] https://welt-der-bwl.de/Standardabweichung (zuletzt abgerufen am 09.01.2023)