Grosse Mengen von Daten helfen zunächst einmal wenig. Vielmehr wollen sie nach Möglichkeit geordnet und die Ergebnisse interpretiert werden. Dafür verwendet man Kenngrössen, die die Datenmengen charakterisieren und so den Vergleich untereinander erleichtern. Das arithmetische Mittel ist solch eine Kenngrösse, die uns auch im Alltag immer wieder begegnet. Wir erklären dir, was das arithmetische Mittel bedeutet, wie man es berechnet und anwendet.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Arithmetisches Mittel «einfach erklärt»
- 2 Definition: Arithmetisches Mittel
- 3 Formel für Arithmetisches Mittel
- 4 Arithmetisches Mittel am Beispiel erklärt
- 5 Problem des arithmetischen Mittels
- 6 Arithmetisches Mittel mit Excel berechnen
- 7 Gewichtetes arithmetisches Mittel
- 8 Das arithmetische Mittel im Vergleich
- 9 Lagemasse am Beispiel erklärt
- 10 Häufig gestellte Fragen
- 11 Quellen
Arithmetisches Mittel «einfach erklärt»
Das arithmetische Mittel gehört zu den Lagemassen bzw. den Lageparametern. Das arithmetische Mittel bezeichnet dabei den Durchschnittswert von Datenmengen.
Definition: Arithmetisches Mittel
Unter Arithmetik versteht man die Lehre vom Rechnen mit Zahlen. Als arithmetisches Mittel benötigen wir also ein Ergebnis, gewonnen aus Zahlengrössen, die etwas gemeinsam haben. Denn Äpfel und Birnen kann man nicht vergleichen und Kilogramm und Meter nicht zusammenrechnen. Wenn wir im Alltag etwa über den Altersdurchschnitt oder Durchschnittsgrössen reden, haben wir es mit dem arithmetischen Mittel zu tun. Daher wird das arithmetische Mittel häufig auch als «Durchschnittswert» bezeichnet.
Beträgt beispielsweise das durchschnittliche Alter einer Personengruppe 34,2 Jahre und einer zweiten 51,4 Jahre, können wir feststellen, dass die erste Gruppe signifikant jünger ist. Obwohl wir dabei nicht jede Person und deren Alter einzeln betrachten, gelingt es, rein anhand der zwei gegebenen Durchschnittszahlen einen Vergleich zu ziehen und zu einer aussagekräftigen Erkenntnis zu gelangen.
Formel für Arithmetisches Mittel
a = die einzelnen gegebenen Werte
n = die Gesamtanzahl aller Werte
Wir haben als Basis eine Menge von Zahlen mit derselben oder aber ohne Benennung, zählen diese zusammen und teilen das Ergebnis durch die Anzahl der Werte.
Die im Grunde einfache Berechnung wird allerdings erschwert, wenn man viele und/oder sehr ungerade Zahlen hat. In diesem Falle helfen dir Taschenrechner und Computerprogramme korrekt zu ermitteln, was als arithmetisches Mittel herauskommt.
Arithmetisches Mittel am Beispiel erklärt
Bei zwölf Personen wird die Körpergrösse gemessen, das heisst n=12. Dies führt zu folgenden Werten:
| a(1) | a(2) | a(3) | a(4) |
| 1,72m | 1,90m | 1,64m | 1,71m |
| a(5) | a(6) | a(7) | a(8) |
| 1,82m | 1,75m | 1,72m | 1,86m |
| a(9) | a(10) | a(11) | a(12) |
| 1,70m | 1,68m | 1,79m | 1,83m |
1. Schritt: Werte in die Formel einsetzen
2. Schritt: Werte addieren
3. Schritt: Ergebnis berechnen
Die Durchschnittsgrösse der zwölf Personen beträgt demnach 1,76m.
Auf die Reihenfolge der Werte kommt es beim arithmetischen Mittel nicht an. Diese müssen auch nicht nach Grösse geordnet sein.
Problem des arithmetischen Mittels
Das arithmetische Mittel eignet sich grundsätzlich sehr gut, um Aussagen über eine Datenmenge zu geben. Allerdings besteht beim arithmetischen Mittel das Problem, dass es durch Extremwerte bzw. sogenannte Ausreisser leicht verfälscht werden kann.
Das folgende Beispiel soll dies genauer darstellen:
Wir messen erneut die Grösse von n=12 Personen, aber dieses Mal gibt es einen Extremwert a(7)=2,23m.
| a(1) | a(2) | a(3) | a(4) |
| 1,72m | 1,90m | 1,64m | 1,71m |
| a(5) | a(6) | a(7) | a(8) |
| 1,82m | 1,75m | 2,23m | 1,86m |
| a(9) | a(10) | a(11) | a(12) |
| 1,70m | 1,68m | 1,79m | 1,83m |
Nun liegt das arithmetische Mittel bei 1,80m.
Daran wird deutlich, dass nur ein Extremwert ausreicht, um das arithmetische Mittel zu verändern. Bei unserem Beispiel wurde die Grösse einer Person verändert, während alle anderen Grössen gleich blieben und das arithmetische Mittel hat sich um 4 cm verschoben.
Natürlich ist dies nur eine vereinfachte Veranschaulichung des Problems, denn unter anderen Umständen können Extremwerte um ein Vielfaches höher oder niedriger ausfallen.
Arithmetisches Mittel mit Excel berechnen
Office-Programme, die Tabellen oder Spreadsheets zur Verfügung stellen, haben in der Regel eine Funktion zur Berechnung des arithmetischen Mittels mit eingebaut.
- In Excel heisst diese Funktion «MITTELWERT».
- Mindestens ein Wert ist verpflichtend, weitere 255 Werte sind zugelassen.
- Die Werte werden jeweils durch ein Semikolon voneinander abgetrennt.
- Zugelassen dabei sind eine Zahl, ein Name oder ein Verweis auf eine bestimmte Tabellenzelle oder einen ganzen Tabellenbereich.1
Im obigen Beispiel liefert
=MITTELWERT(1,72;1,90;1,64;1,71;1,82;1,75;1,72;1,86;1,70;1,68;1,79;1,83)
als arithmetisches Mittel den gewünschten Durchschnittswert 1,76.
Hast du beispielsweise die zwölf Ausgangswerte in die Tabellenzellen A1 bis A12 eingetragen, reicht die Angabe des betreffenden Bereichs:
=MITTELWERT(A1:A12)
Gewichtetes arithmetisches Mittel
Wie die namentliche Bezeichnung bereits nahelegt, gehen beim gewichteten arithmetischen Mittel die Zahlenwerte mit jeweils einem bestimmten Gewicht in die Berechnung des Durchschnitts ein. Alternativ ist der Begriff gewogenes arithmetisches Mittel im Gebrauch.
Gegeben sind:
n Zahlenwerte: a(1),a(2),…,a(n)
m Gewichtskoeffizienten: k(1),k(2),…,k(n).
Dem Wert a(i) sei somit das Gewicht k(i) zugeordnet, für i=1,…,n.
Formel des gewichteten arithmetischen Mittels
Aus dieser Formel ersieht man, dass das einfache arithmetische Mittel einen Spezialfall des gewichteten arithmetischen Mittels darstellt, wenn man nämlich alle Gewichte zu 1 setzt:
Gewichtetes arithmetisches Mittel am Beispiel erklärt
Eine bekannte Anwendung ist bei der Notengebung, dass für die Endnote die schriftliche Prüfung im Vergleich zur mündlichen Prüfung doppelt zählt.
| mündliche Prüfung: | Note: 3; | Gewichtung: k(1)=1 |
| schriftliche Prüfung: | Note: 2; | Gewichtung: k(2)=2 |
Möglichkeit 1:
Möglichkeit 2:
Das Ergebnis des gewichteten arithmetischen Mittels liegt bei 2,33.
Das Ergebnis des arithmetischen Mittels bei diesem Beispiel wäre 2,5.
Das arithmetische Mittel im Vergleich
Die Lagemasse setzen sich aus mehreren Werten zusammen:
Die deskriptive Statistik hat die Aufgabe, empirische – also durch Beobachtung und Messung gewonnene Datenmengen möglichst anschaulich zu beschreiben, unter anderem durch aussagekräftige Kenngrössen. Lageparameter charakterisieren eine solche Menge in typischer Weise, während Streuungsparameter über das Ausmass der Abweichungen Auskunft geben.2
Alle Lageparameter stellen anerkannte Grössen dar; ob und in welcher Form sie zum Einsatz kommen, hängt individuell von der Fragestellung und Zielrichtung einer wissenschaftlichen Arbeit ab. Das gilt zugleich für Abschlussarbeiten. Benutzt werden sollte, was einen Erkenntnisgewinn bringt.
Lagemasse am Beispiel erklärt
Die Bestimmung des Medians verlangt, dass eine geordnete Folge von Zahlenwerten vorliegt; nur dann ist demnach ein Vergleich aller drei Lageparameter möglich und sinnvoll. Arithmetisches Mittel und Modus dagegen betrifft diese Einschränkung nicht.
Datenfolge 1:
| a(1) | a(2) | a(3) | a(4) | a(5) |
| 2 | 3 | 3 | 3 | 5 |
| a(6) | a(7) | a(8) | a(9) |
| 5 | 7 | 8 | 9 |
Datenfolge 2:
| a(1) | a(2) | a(3) | a(4) | a(5) |
| 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
| a(6) | a(7) | a(8) | a(9) | a(10) |
| 6 | 6 | 8 | 9 | 12 |
Datenfolge 1:
Datenfolge 2:
Median
Das mittlere Element bei einer ungeraden Anzahl der Daten. Bei einer geraden Datenanzahl ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Zahlen.
Datenfolge 1:
Bei Datenfolge 1 liegt eine ungerade Anzahl an Werten vor, wodurch du den Median einfach ablesen kannst. Der Median liegt bei 5.
Datenfolge 2:
Bei Datenfolge 2 liegt der Median bei 5,5.
Modus
Der Modus beschreibt den Wert einer Datenmenge, der am häufigsten auftritt.
Datenfolge 1:
| a(1) | a(2) | a(3) | a(4) | a(5) | a(6) | a(7) | a(8) | a(9) |
| 2 | 3 | 3 | 3 | 5 | 5 | 7 | 8 | 9 |
Bei Datenfolge 1 existiert ein Wert, der am häufigsten auftritt. Dadurch lässt sich feststellen, dass der Wert «3» der Modus ist 3.
Datenfolge 2:
| a(1) | a(2) | a(3) | a(4) | a(5) | a(6) | a(7) | a(8) | a(9) | a(10) |
| 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 8 | 9 | 12 |
Bei Datenfolge 2 gibt es zwei Werte, die gleich häufig vorkommen und somit existieren mit 3 und 6 zwei Modi.
Häufig gestellte Fragen
Häufig ist mit Mittelwert das arithmetische Mittel gemeint, vor allem im Alltagsgebrauch. Es gibt jedoch weitere Mittelwerte, etwa das geometrische Mittel und das harmonische Mittel.
Variablen werden zur Kennzeichnung als arithmetisches Mittel mit einem Überstrich versehen (gelesen: «quer»).
Ein arithmetisches Mittel ist wenig aussagekräftig, wenn die Daten recht beliebig sind und weit auseinanderliegen. Ob und inwieweit dies der Fall ist, darüber geben die Streuungsparameter näheren Aufschluss.
Sogenannte Ausreisser, also sehr kleine oder sehr grosse Werte – die zudem womöglich auf Erhebungs- oder Messfehlern beruhen –, können ein arithmetisches Mittel im Vergleich zum Median und Modus relativ leicht verfälschen, welche in dieser Beziehung weitaus robuster sind.
Englisch dominiert als Wissenschaftssprache. Arithmetisches Mittel heisst dort «arithmetic mean», was zu den weltweiten Quellen führt.
Quellen
1 Microsoft: Mittelwert (Funktion), in: support.microsoft.com, o. D., [online] https://support.microsoft.com/de-de/office/mittelwert-funktion-047bac88-d466-426c-a32b-8f33eb960cf6 (zuletzt abgerufen am 16.11.2022)
2 BR: Lagemasse – Arithmetisches Mittel, in: BR, 10.12.2019, [online] https://www.br.de/telekolleg/faecher/mathematik/trimester4/mathematik-35-statistik-II100.html (abgerufen am 16.11.2022)